Simulação
Numérica de Sistemas de N-Corpos
com
Atracção Gravítica
Dissertação apresentada à Faculdade de Ciências da
Universidade
de Lisboa para obtenção do grau de Mestre em Física
Nuno Sidónio Andrade Pereira
2000
Em memória de Isaac
Newton.
Introdução[1]
A motivação inicial deste trabalho foi desenvolver
ferramentas computacionais que permitissem estudar o célebre problema dos N-corpos com atracção gravítica: dado um conjunto de massas pontuais que
interagem de acordo com a Lei de Newton da Gravitação, a partir das condições
iniciais do sistema, prever a sua evolução. Enunciado assim de forma tão
sucinta parece, à primeira vista, um problema simples. Na pior das situações,
deve ser trabalhoso do ponto de vista
técnico, se N for muito
“grande”. De facto, a sua simplicidade esconde uma riqueza matemática que, há
mais de um século, tem vindo a desafiar o conhecimento.
Em 1894, Poincaré demonstrou teoricamente a impossibilidade
de calcular soluções gerais quando N³ 3. A abordagem numérica, com todos os seus defeitos e
virtudes, surge assim como uma alternativa, e ao mesmo tempo um complemento,
aos estudos teóricos.
A integração numérica mostrou-se no início incapaz de
simular sistemas com um número de partículas próximo do de sistemas reais com,
por exemplo, enxames abertos (N » 102-103) e enxames globulares (N » 104-106). A necessidade de estudar
a dinâmica de tais sistemas exigiu o desenvolvimento de técnicas numéricas
específicas e motivou grandes avanços nos computadores digitais. Actualmente,
este problema ainda representa um grande desafio.
Embora exista uma grande variedade de pacotes de
aplicações computacionais para o efeito,
onde estão implementados os algoritmos convencionais e
suas variantes mais sofisticadas, resolvemos iniciar o processo a partir do
zero, isto é, tendo apenas como base um integrador de sistemas de equações
diferenciais de passo variável, gentilmente cedido por Carles Simó. Deste modo,
saberiamos exactamente o que estava dentro da “caixa negra” computacional e,
acima de tudo, seria muito mais fácil incorporar no algoritmo do integrador
numérico técnicas analíticas específicas, nomeadamente a regularização de
encontros binários. O processo esteve longe de ser linear e desenvolveu-se em
duas linhas de trabalho: enquanto que, por um lado, estudávamos as técnicas
matemáticas relacionadas com o problema dos N-corpos
de modo a ter uma visão geral do enquadramento teórico, por outro,
desenvolviamos algoritmos numéricos onde implementávamos as técnicas
analíticas. Um processo deste tipo tem sempre uma certa dose de recursividade
mas, no entanto, esperamos sempre atingir uma configuração estável ao fim de um
número finito de iterações.
As três primeiras partes do trabalho desenvolvem-se ao
longo de 11 capítulos e constituem o corpo principal. Aí desenvolvemos a
exposição teórica necessária à compreensão do problema, definimos os algoritmos
e apresentamos os resultados numéricos. Na quarta e última parte, agrupámos 8 apêndices onde apresentamos
algumas discussões que, embora importantes, podem ser feitas fora da sequência
principal do texto, evitando assim a quebra de ritmo na apresentação do
trabalho. Passemos agora à descrição mais detalhada do conteúdo.
Parte I - Regularização no
Problema dos 2-Corpos
Aqui abordamos o problema dos encontro binários,
discutimos as técnicas clássicas de regularização (Levi-Civita e
Kustaanheimo-Stiefel) e introduzimos uma técnica muito simples e eficaz, a
regularização “InOut” (capítulo 1). A
exposição é acompanhada de vários exemplos numéricos.
No capítulo 2 estudamos o efeito dos encontro binários na
precisão das soluções numéricas e o papel da regularização no controlo dos
erros.
Parte II - O Problema dos N-Corpos
No capítulo 3 começamos pela formulação matemática do
problema dos N-corpos. De seguida
discutimos o problema das singularidades colisionais e da existência de
singularidades não colisionais. Apresentamos ainda alguns teoremas fundamentais
e terminamos com uma breve discussão sobre as soluções particulares para o caso
N>2, as soluções homógrafas, e as
configurações centrais.
No capítulo 4
discutimos os problemas
associados à resolução numérica
dos sistemas de N-corpos, em
particular, a ocorrência de encontros binários. Apresentamos um critério para a
definição de pares de partículas candidatas a regularização. Para o caso de
encontros múltiplos, apresentamos uma heurística que permite contornar os
problemas numéricos que surgem nas situações em que a regularização binária
simples não é suficiente. Ao longo do capítulo fazemos ainda a descrição formal
dos algoritmos NNEWTON1/3/5 em termos
da definição das estruturas de dados e operações.
No capítulo 5, apresentamos três estudos numéricos onde
ocorrem encontros: a integração de um sistema triplo, de um sistema com
binários simultâneos (N=18) e de um
sistema com dois binários e um sistema triplo, num envelope de partículas inicialmente
virializado (N=20). Estudamos ainda
os erros numéricos e a sua relação com diversos parâmetros envolvidos na
integração numérica e na regularização, no caso do sistema de binários
simultâneos.
Parte III - As Equações
Variacionais do Movimento
Começamos por dar uma
introdução ao problema
da instabilidade exponencial
em sistemas de
N-corpos com atracção gravítica (capítulo 6) e abordamos o
problema da validade das simulações numéricas destes sistemas. De seguida, no
capítulo 7 estabelecemos as equações variacionais associadas às equações do
movimento do problema de N-corpos e
definimos métricas para, a partir das equações variacionais, avaliar o
crescimento de perturbações no sistema e relacioná-lo com a instabilidade
exponencial através dos expoentes de Lyapunov. No capítulo 8 apresentamos o
primeiro algoritmo que integra as equações do movimento e as variacionais em
simultâneo com alguns exemplos numéricos.
O passo seguinte consiste em introduzir a regularização
nas equações variacionais. No capítulo 9 apresentamos dois métodos de
regularização, um deles com perturbação externa.
No capítulo 11, o último deste trabalho, apresentamos o
balanço final e apontamos direcções para trabalho futuro.
Apêndices
Como mencionámos no inicio, resolvemos incluir como
apêndices alguns textos que servem de apoio e complemento ao corpo principal do
trabalho. Nos primeiros seis apêndices apresentamos cálculos que justificam
algumas afirmações feitas ao longo do trabalho. No apêndice G apresentamos um
resumo dos métodos numéricos actualmente mais usados para integrar sistemas de N-corpos e, em particular, discutimos as
aproximações que são consideradas na sua construção e o âmbito da sua
utilização. Por ser um tema cada vez mais importante para quem faz simulações
numéricas com muitas partículas, mencionamos a utilização da computação
distribuida e de computadores dedicados, nomeadamente os da família GRAPE, em
diversos estudos de sistemas de N-corpos.
Finalmente, no apêndice H descrevemos todos os programas escritos neste
trabalho, em particular, o formato dos ficheiros de entrada e de saída.
A realização deste trabalho foi suportada parcialmente
pelo programa PRAXIS XXI (Bolsa
BM/594/94) e pelo projecto Fenómenos não
lineares em Mecânica Celeste, Astrofísica e Cosmologia (PIBCT/FIS/2215/95).